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Friday, May 24, 2013

Como hallar la cantidad de divisores de un número sin hacer el arcoiris de factores

Normalmente pensamos que a nivel elemental solamente vemos aritmética, geometría, estadística y un poco de preálgebra. La realidad es que casi nunca notamos que se pueden ver conceptos simplificadas o hiperaplicadas de topología, matemáticas discretas, álgebra abstracta y la teoría de números. Ésta última se introduce formalmente cuando necesitamos conocer sobre primos, compuestos, mínimo común múltiplo, máximo común divisor, y  factorización (tanto en forma de árbol o en arcoiris) para comprender el mundo de las operaciones fraccionarias. Claro está, al pasar de los grados se cuelan más temas, como la factorización prima, la aritmética del reloj y los sistemas de numeración de base n; pero se usan como aplicaciones al álgebra o recreaciones que lamentablemente no entran al aula por falta de tiempo.

Volvamos al arcoiris de factores por un momento. Busqué información por la red y me  percaté que era simplemente el ejercico en donde encierras en dos corchete todos los factores / divisores de un número natural en específico.:

Ejemplo: 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}


Lo que difiere el ejemplo de arriba al arcoiris de factores es que trazas un arco el cual conecta el primero con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente.

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Ahora bien, existe un método en el cual puedes saber cuántos factores tiene un número natural n menor que 1 sin la necesidad de conocer cuáles son. Para ello necesitarás conocer que todo número natural n menor que 1 tiene su factorización prima única. Piénselo como si cada n diferente de uno tiene su propio zip code compuesto de la multiplicación de exponentes cuyas bases son diferentes entre sí. Abajo podrá ver una explicación algebraica:


Lo que yo necesito saber de esa factorización prima son las potencias ( las a) que tiene cada número primo. Entonces las multiplico todas, sumándole 1 a cada potencia antes de multiplicar. El producto resultante es la cantidad de divisores (d) que tiene el número natural n.
 Para probar lo dicho, volvamos al ejemplo de arriba. La factorización prima de 30 es 2 · 3 · 5, donde las potencias son 1, 1 y 1, respectivamente. Entonces d = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) =2 · 2· 2 = 8 divisores. Abjo les muestro dos ejemplos más, los cuales puede comprobar hallando de mente los factores.





La técnica es excelente cuando tienes que hallar números gigantes o para decir rápidamente la cantidad de divisores en cuadrados (d = 3), cubos (d = 4) o cuartos perfectos (d = 5)
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Ésta es la primera entrada de La Covacha Matemática para la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Matemáticas interactivas y manipulativas.

14 comments:

Anonymous said...

pero en mi colegio me dieron otra formula que creo que era sacando la raiz puedes mostrarme como es

JavierOmar said...

Saludos.

Que me recuerde:

1) Sacas la raíz cuadrada del número, perfecta (o truncada, de no ser prefecta).

2) Cuentas la cantidad de divisores que son menores o iguales que la raíz. Multiplica esa cantidad por dos.

OJO: De la raíz ser prefecta, le restas 1.


Ej 1: 20

Raíz cuadrada: 4 (truncada)
Cantidad de factores de 20 menores o iguales a 4: 3 (1, 2, 4)
Cantidad total de factores = 3(2) = 6

Ej 2: 36

Raíz cuadrada: 6 (perfecta)
Cantidad de factores de 36 menores o iguales a 6: 5 (1, 2, 3, 4, 6)
Cantidad total de factores = 5(2) - 1 = 10 - 1 = 9.

Perdona la tardanza.

juan juas said...

Muy bien explicado , en unas horas vere si he aprendido bien los concepto que tengo el examen .

lupa34 said...

No lo tomen a mal,esto es para alimentar el intelecto,y la capacidad del ingenio.Alguien pudiera dar una demostración de esta hermosa regla?
Se los dejo a los curiosos que sé que son muchos.Es un reto al intelecto.
Saludos

lupa34 said...

Quien puede dar una demostración de la regla de los exponentes?

lupa34 said...

Quien puede dar una demostración de la regla de los exponentes?

JavierOmar said...

Saludos.

¿Cúal de las reglas de los exponentes? ¿La de la entrada?

pehuencura said...

lupa 34.
Sea n = p_1^a_1 x p_2^a_2 x ... x p_k^a_k
y sea d/n, entonces como d es divisor de n debe tener los mismos factores primos que n, (no necesariamente todos al mismo tiempo), supongamos que
d = p_1^a_i (sólo con un factor primo), donde 0<=a_i<=a_1 (es decir que el exponente varía entre 0 y el exponente de ese número primo en n). Entonces la cantidad de a_i es a_1 + 1 (donde el +1 indica que también debemos considerar el 0).
supongamos ahora que
d = p_1^a_i x p_2^a_j (dos factores primos con sus exponentes). Entonces tendríamos que para a_i hay a_1 + 1 y para a_j hay a_2 + 1.
Por cada uno de los a_i + 1 exponentes del p_1 tenemos a_2 + 1 exponentes del p_2, por lo tanto en total habrá (a_1+1) (a_2+1).

Una demostración completa se podría hacer utilizando el principio de inducción matemático.

Irving Delgado said...

Está bien, sólo que creo que en vez de menor a 1 quisiste decir mayor a 1. Según el teorema fundamental de la aritmetica. "Todo entero positivo n > 1 puede ser representado exactamente de una única manera como un producto de potencias de números primos".

Sigue siendo muy útil, gracias!

Gever Salazar said...

Javier Omar, me salvaste con el metodo de la raiz cuadrada que das en comentarios. Es mucho más rapido y por fin pude calcular el primer numero fibonacci en tener mas de 1000 factores! Ahora pudo dormir en paz jajaja

Saludos

Unknown said...

Como hago si me piden hallar el # de divisores que sean cubos perfectos

Anonymous said...

Y como hago si piden el numero de divisores que sean cubos perfectos

Adrián said...

Otra manera de enfocar la demostración sería usar combinatoria. Poniendo otro ejemplo:
Si n=10^99
Entonces n=2^99*5^99
Y por lo tanto cada divisor de n será de la forma d=2^a*2^b
Las posibles combinaciones de a son 99+1 (se le suma 1 porque también sirve el 0)
Y para b se procede análogamente.
Por lo tanto el numero de divisores es = (99+1)(99+1)

Anonymous said...

Si te piden el número de divisores que sean cubos perfectos puedes hacer esto: escribes el número dado n de la forma a=bc donde b es un número al cubo y c es un número libre de cubos (o sea no existe ningún primo p tal que p al cubo divide a c). Entonces el número de divisores que son cbos perfectos es igual al número de divisores de la raíz cúbica de b.